《两个平面垂直的判定和性质》课堂实录与评析

2019-08-20 15:10

摘自:《教育学习网》

课前准备(教具制作)

取两个互相垂直的平面的模型(如图)并在两个平面的交线CD上取点B,在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔BM、BN,再备两个可以插入插孔的粗铁丝段,使插入以后可以表示二面角α-CD-β的平面角

一、引入新课

师:前一节课,我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念,今天我们学习“两个平面垂直的判定和性质”.

(板书课题后,随即大屏幕给出问题.)

“直线a和平面α、β可以有以下三种关系:α⊥β,,a⊥β,如果任意取其中两个作前提,另一个作结论构造命题,能构成几个命题,并判断其真假.”

[提出问题,引起思维.]

[学生画图,搭模型——用课本、课桌作平面,笔作直线,积极思考,互相讨论;教师巡视鼓励学生大胆猜想与判断,及时给予个别启发、指导.]

生:能构成三个不同的命题:

(1)

(2)

(3)

这三个命题中:(1)是真命题(2)(3)均是假命题

二、证明命题

(教师针对学生回答先板书,再演示教具,印证“猜测”.)

师:对于命题(1).欲证α⊥β,须判断二面角α-CD-β为直二面角,为此须作出其平面角.(在教具模型预留插口上演示)这样,得到二面角的平面角是直角.∴α⊥β.

[把问题交给学生,让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想,并在议论和印证中发现了两个平面垂直的判定定理的内容及其证明方法,从而增强学生学习中的发现因素和探索机会,有利于培养学生的思维能力和探索精神.]

师:现在让我们来考察、探究命题(2)的真假,由α⊥β,面α内的直线a能与面β垂直吗?

生甲:不能!

生乙:不一定能!

[教师肯定了后者,a不一定垂直于β,如图1中直线a',故命题(2)不真.接着,激励学生进一步探究.]

师:对于命题(2),能否在α⊥β,的条件下,再增加某些条件,使α⊥β的结论成立呢?

(学生在各自的桌面上用书本、笔构造模型,摆弄a在α内的各种位置后,进行讨论并提出猜想.)

生:增加a⊥CD的限制条件后,即能判定α⊥β,即

(2')

师:现在,我们给出命题(2')的证明

(师生共同完成证明过程)

[这里揭示了命题(2')的形成过程:在处于命题(2)的阶段是初露端倪,经过分析、对比、猜想、抽象、印证,形成了命题(2'),这个过程,有利于发展学生的数学思维,如果不讲过程,不讲背景,容易使学生的思维呆板,此外,启发学生学习的主动性与创造性的关键在于“创造问题的情境”,如本段教学中出现了命题(2)不真的矛盾,如何使其“真”,并再证明其真,这就创造出一种使学生能够积极思维的环境.]

师:由模型可知,由α⊥β,a⊥β,显然a不一定在α内,如下图中的a',为了达到的结论,需要增加什么条件?

生:a须经过α内的一点p(教师板书)

(3')

师:对于命题(3')的证明,先请同学们回忆一下,证明直线在平面内常用什么方法?

生:同一法和反证法.

师:我们不妨用同一法试试.

(教师简述“同一法”证题的三个步骤:符合结论的作图,图形符合条件的证明,“唯一性”的说明,接着启发、诱导.)

师:如何就本题的条件证明“”的结论呢?

(学生思考、议论后回答.)

生:

师:从不同的“唯一性”为出发点,证明了命题(3').至于反证法的证明,同学们课外去思考.

[同一法的三个步骤由教师扼要表达,这是教师给予学生在知识上的必要的铺垫,以减少思维障碍,使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行.]

师:通过构造命题、探索真伪、猜想论证,得到了三个正确的命题.其中命题(1)用来判断α⊥β,故称它为两个平面垂直的判定定理;命题(2')(3')称为两个平面垂直的性质定理.现在请同学们完整而确切地表述刚才获得的三个定理,必要时可打开课本.

[充分发挥课本作用,引导学生看书、消化、回味、思考,有利于学生基础知识的学习和巩固.]

三、巩固练习

师:现在请同学们思考下面问题:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的任意点.求证:△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面.

师:要证明平面PBC⊥平面PAC,应该找线面垂直关系.

(让学生思考、议论、启发学生找出一条在平面PBC内的直线BC且与平面PAC垂直,在学生的回答基础上,教师边复述边写出证明过程.)

师:还有其他证法吗?

生甲:可以通过两个平面垂直的定义证明二面角B-PC-A的平面角是直角,从而证明它们互相垂直.因为∠ACB=90°,而它又是这二面角的平面角,所以平面PAC⊥面PBC.

(教师板书此学生的想法,然后让大家议论这证法有否问题.)

生乙:这里∠ACB不是这二面角的平面角,因为PC不垂直于AC,所以这证法不对.

师:对,不过这个问题是肯定可以用定义证明的,关键是A-PC-B的平面角如何作,同学们课后研究解决.

[留有悬念,并把课内引向课外.]

四、作业

书后习题(略)

点评:本课教学在信息论、系统论、控制论的指导下,首先输入一个贯穿全课的信息源,熔“判定”和“性质”为一题,在教师的主导下,师生共同进行信息加工处理,在自成系统的教学过程中,教学信息反馈及时,因而信息传输的过程得到了有效的控制、及时的矫正,促使教学系统的各子系统实现最佳的组合.